4.9 非线性系统

　　尽管大多数实际系统是非线性的，但是线性理论有些惊人的特性对于控制系统分析和综合极其有用。在古典控制理论中，考虑非线性效应的必要性是众所周知的;引用Truxal (1955, p. viii) 的话:

第五,设计师必须熟悉用来分析非线性系统的基本技术。设计师必须能够分析系统中不想要的非线性效应，并将非线性综合到系统中以提高动态性能。

　　他提到的典型非线性有摩擦、间隙、饱和滞后(Atherton,1975;Graham&McRuer,1961;Oldenburger, 1956)。非线性分析的近似法在非线性动力学中发展出来(Andronov et al., 1937; Krylov &Bogoliubov, 1937; Minorsky, 1962)。探索极限环的一种方法称为谐波平衡，包括研究一次谐波的传播，类似于线性系统的奈奎斯特分析方法。这个方法的一个版本被称为描述函数法(Kochenburger, 1959; Tustin, 1947a)。开关控制在控制早期比较流行，因为可以用简单的设备获得高增益；重要的理论也被开发出来(Flügge-Lotz, 1968; Tsypkin, 1949,1958, 1984)。

　　李雅普诺夫稳定性理论在苏联被广泛使用(Malkin, 1951)。该理论由卡尔曼和Bertram得到普及，他们借鉴了普林斯顿Lefschetz的想法，于是因此激励了西方大量相关研究工作。Krasovskii(1963)和LaSalle(1960)提供了一些有用的扩展。Willems表明，能量和耗散的概念与李雅普诺夫理论密切相关，并且发展了一套针对于耗散系统的理论(Willems, 1972)。李雅普诺夫理论现在广泛用于分析和设计(Freeman & Kokotovic, 2008)。Sontag和Wang (1995)引入的控制李雅普诺夫函数与输入到状态的稳定性概念被证明是有用的。Khalil的书(Khalil, 1992)是该领域一本受欢迎的标准教材。

　　无记忆非线性和线性系统反馈串接成的系统稳定性问题由Lurie和Postnikov (1944)提出。Aizerman猜想，如果非线性是扇区有界的，且线性系统对于扇区中的任何线性增益是稳定的，则闭环系统将是稳定的 (Aizerman,1949)。这个猜想是错误的，但却刺激了很多创造性的研究。最初问题是由李雅普诺夫理论解决的，但重要的突破却是由Popov做出的，他用对线性部分奈奎斯特曲线的约束给出了稳定性条件(Popov, 1973a,b)。Yakubovich(Yakubovic,1964)证明, Popov的结论可以表达和扩展成线性矩阵不等式(LMI)形式。

　　然而Sandberg（1964）和Zames（1964）在1964年的国家电子会议（National Electronics Conference）上展示了另一种稳定性。他们的报告后来予以详细出版(Sandberg, 1964, 1965; Zames, 1966a,b)。Zames专注于输入输出特性而避开了状态空间的概念。他从麻省理工学院的Singer那里借鉴了泛函分析，并引入了小增益定理和无源性定理。这些理论推广了线性系统中增益和相位的概念。这些想法得到了很多关注，并迅速成为控制理论核心的一部分(Desoer & Vidyasagar,1975; Vidyasagar, 1978)。

　　20世纪70年代该领域涌入了微分几何（Boothby，1975）的思想，导致了几何控制理论的发展。Brockett，Jurdjevic，Hermann，Krener，Lobry和Sussman是推动该研究进程的关键研究人员。他们研究了控制仿射非线性系统的能控性和能观性概念(Brockett, 1972, 1976; Haynes & Hermes, 1970; Hermann & Krener, 1977; Hermann, 1963; Krener, 1974; Lobry, 1970, 1974; Sussman & Jurdjevic, 1972);其判据基于李代数。反馈线性化作为非线性系统设计的一种技术被引入(Hunt, Su, & Meyer, 1983)。Fliess使用微分代数来定义微分平坦的概念，后者变成了前馈和跟踪设计的有力方法(Fliess, Lévine,Martin, & Rouchon, 1975, 1992; Fliess, Lévine, Ollivier, & Rouchon,1995)。计算机代数用来计算李括号。Isidori和Byrnes引入了零动态的概念，推广了线性系统的零点(Isidori&Byrnes,1990)。几何控制理论有很多有趣的应用，如航天器姿态控制（Sidi，1997）、飞机大攻角飞行（Stengel＆Robert，2004，第7.4节）、拖车倒车（Fliess，Lévine和Martin ，1993）、步行机器人（Westervelt，Grizzle，Chevallereau，Choi，＆Morris，2007）和量子系统（Huang,Tarn,&Clark,1983;Khaneja,Brockett,&Glaser,2001）。几何控制理论是一些书中非线性控制理论的核心部分(Isidori, 1995; Nijmeijer & van der Schaft,1990)。